Видео с канала Савченко

Задание 16.1.Высоты равнобедренного треугольника АВС с основанием АС пересекаются в точке Н, угол В равен 30 градусов. Луч СН второй раз пересекает окружность, описанную вокруг треугольника АВН, в точке К. а) Докажите, что ВА – биссектриса угла КВС. б) Отрезок ВС пересекает окружность в точке Е. Найдите ВЕ, если АС = 12.

Задание 16.2Точка О – центр окружности, описанной около остроугольного треугольника АВС. На луче АО отмечена точка М так, что BAC+ AMC=90. а) Докажите, что существует точка Р, одинаково удаленная от точек В, О, С, М. б) Найдите расстояние от точки Р до точки М, если известно, что BAC=15 и ВС=15.

Задание 16.3.В треугольнике ABC на AB, как на диаметре, построена
окружность ω1, а на AC, как на диаметре, построена окружность ω2. Окружности ω1 и ω2 пересекаются в точке М, отличной от точек А, В и С. А) Докажите, что точки М, В и С лежат на одной прямой.
Б). Пусть АМ = 6, а диаметр окружности, описанной около
треугольника АВС, равен 10. Найдите произведение АВ*АС.

Задание 16.4. В треугольнике АВС точка М середина АС. А) Докажите, что длина отрезка ВМ больше полуразности, но меньше полусуммы длин сторон АВ и ВС. Б) Окружность проходит через точки В, С, М. Найдите хорду этой окружности, лежащую на прямой АВ, если известно, что АВ=5, ВС=3, ВМ=2.

Задание 16.5.В параллелограмме АВСD диагональ ВD равна стороне AD. а) Докажите, что прямая СD касается окружности ω, описанной около треугольника АВD.б) Пусть прямая СВ вторично пересекает ω в точке К. Найдите КD:AC при условии, что угол ВDA равен 120.

Задание 16.6.В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК, ВМ и СN. На стороне АВ выбрана точка Р так, что окружность описанная около треугольника РКМ касается стороны АВ. а) Докажите, что угол КАМ равен углу МВС. б) Найдите РN, если РА=30, РВ=10.

Задание 16.7.Окружности с центрами в точках А, В и С и радиусами, равными а, b и с соответственно, попарно касаются друг друга внешним образом в точках К, М, Р. а) Докажите, что отношение площади треугольника КМР к площади треугольника АВС равно
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника КМР, если известно, что а=6, b=7, с=1.

Задание 16.8.В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК, ВМ и СN. На стороне АВ выбрана точка Р так, что окружность описанная около треугольника РКМ касается стороны АВ. а) Докажите, что угол КАМ равен углу МВС. б) Найдите РN, если РА=30, РВ=10.

Задание 16.9.В трапеции АВСD BCIIAD, ABC=90. Прямая, перпендикулярная стороне CD, пересекает сторону АВ в точке М, а сторону CD в точке N.
а). Докажите подобие треугольников АВN и DCM.
б). Найдите расстояние от точки А до прямой ВN, если МС=5, ВN=3, а расстояние от точки D до прямой МС равно 6.